Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran

1.  Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran

a.    Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di titik O(0,0)

Persamaan garis singgung lingkaran di titik Q(x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran x² + y² = r² adalah

x₁x + y₁y = r²

Contoh 1:

Tunjukkan bahwa titik A(2,-4) terletak pada lingkaran x² + y² = 20. Kemudian tentukan persamaan garis singgung lingkaran itu di titik tersebut !

Jawab :

i. titik A(2,--4) → x² + y² = 20

                           2² + (-4)² = 20

                               4 + 16 = 20         (terbukti) titik A(2,-4) terletak pada lingkaran x² + y² = 20

ii.                        Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 20 di titik A(2,-4). Dengan x₁ = 2, y₁ = -4 dan r² = 20

x₁x + y₁y = r²

2x + (-4)y = 20

    2x – 4y = 20

      x – 2y =10

b.    Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran yang berpusat di titik P(a,b)

Persamaan garis singgung lingkaran di titik Q(x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² adalah

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)² + (y – 3)² = 9 di titik (-2,6) !

Jawab :

Diketahui : a = -2 , b = 3 , r² = 9 ,  x₁ = -2 dan y₁ = 6

Persamaan garis singgung : (x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

                                              (-2 – (-2))(x – (-2)) + (6 – 3)(y – 3) = 9

                                                                (0)(x + 2) + (3)(y – 3) = 9

                                                                                        3y – 9 = 9

                                                                                              3y = 9 + 9

                                                                                              3y = 18

                                                                                                y = 6

Perhatikan !

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

x₁x – ax₁ – ax + a² + y₁y – by₁ – by + b² – r² = 0

x₁x + y₁y – a (x₁ + x) – b (y₁ + y) + a² + b² – r² = 0

Untuk nilai A = -a , B = -b ,  dan C = a² + b² – r²

Kesimpulan :

Persamaan garis singgung di titik Q(x­₁,y₁) yang terletak pada lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 adalah

x₁x + y₁y + A (x₁ + x) + B (y₁ + y) + C = 0

Contoh 3 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 3x² + 3y² – 6x – 9y – 3 = 0 di titik A(-1,2) !

Jawab :

L : 3x² + 3y² – 6x – 9y – 3 = 0 ↔ x² + y² – 2x – 3y – 1 = 0

2A = -2, maka A = -1                    didapat TP (-A,-B) = (1, )

2B = -3, maka B =

C = -1

Persamaan garis singgung : x₁x + y₁y + A (x₁ + x) + B (y₁ + y) + C = 0

(-1)x + (2)y + (-1)(-1 + x) + ()(2 + y) + (-1) = 0

-x + 2y + 1 – x – 3 y – 1 = 0

-x – x + 2y y + 1 – 3 – 1 = 0

-2x +y – 3 = 0   kedua ruas dikali 2 (supaya penyebut 2 hilang)

-4x + y – 6 = 0 atau 4x – y + 6 = 0 atau 4x – y = -6

2.  Garis Singgung melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran (Pengayaan)

Contoh 4 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 9 yang dibuat melalui titik (4,0) !

Jawab :

i.      Titik (4,0) → x² + y² = 9

        4² + 0² = 9

        16 + 0 = 9

              16 > 9    ternyata terletak di luar lingkaran x² + y² = 9

ii.     Gradien : y – y₁ = m (x – x₁)

                 y – 0 = m (x – 4)

                       y = mx – 4m

iii.   Subtitusi ke persamaan lingkaran x² + y² = 9

   x² + (mx – 4m)² = 9

   x² + (mx – 4m) (mx – 4m) – 9 = 0

   x² + m²x² – 4m²x – 4m²x + 16m² – 9 = 0

  (1 + m²)x² – 8m²x + 16m² – 9 = 0

  (1 + m²)x² + (– 8m²)x + 16m² – 9 = 0

       a                  b                 c

iv.   Syarat garis menyinggung lingkaran, maka D = 0 :

D = b² – 4ac

0 = (–8m²)² – 4(1 + m²) (16m² – 9)

0 = 64m⁴ + (–4 – 4m²) (16m² – 9)

0 = 64m⁴ – 64m² + 36 – 64m⁴ + 36m²

0 = - 28 m⁴

0 = m

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = mx – 4m = (0)x – 4(0)

                                                                     y = 0

3.  Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

a.    Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu pada Lingkaran yang Berpusat di Titik O(0,0)

Persamaan garis singgung pada lingkaran L : x² + y² = r² dengan gradien m adalah

Contoh 5 :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L : x² + y² = 25 jika diketahui :

i.    Gradien garis singgungnya 3

ii.  Garis singgungnya sejajar dengan garis x – y – 2 = 0

Jawab :

i.    m = 3 , r² = 25 maka r = 5

ii.  x – y – 2 = 0

         – y = – x + 2 ↔ y = x – 2    didapat m = 1 karena garisnya sejajar maka m₁ = m₂ = 1

b.    Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu pada Lingkaran yang Berpusat di Titik P(a,b)

Persamaan garis singgung pada lingkaran L : (x – a)² + (y – b)² = r² dengan gradien m adalah

Contoh 6 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 jika diketahui :

i.      Gradien garis singgungnya 2

ii.     Garis singgungnya tegak lurus dengan garis y = 2x + 1

Jawab :

L : x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 ↔ (x – 1)² + (y + 1)² = 4

2A = -2 , maka A = -1                   didapat TP(-A,-B) = (1,-1) dan

2B = 2 , maka B = 1

C = -2

i.      m = 2 dan r = 2

ii.     y = 2x + 1 didapat m = 2, karena garisnya tegak lurus maka m₁ ∙ m₂ = -1

                                                                                                  2 ∙ m₂ = -1

                                                                                                 m₂ = -

                

Latihan Soal 3

1.       Tentukan persamaan garis singgung pada :

a.       L : x² + y² – 2x + 2y – 4 = 0 di titik (1,2)

b.       L : x² + y² = 4 di titik (0,4)

c.       Diketahui persamaan lingkaran x² + y² + 2x – 3 = 0 dan titik T(1,0).

a.       Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran !

b.       Selidiki apakah titik tersebut terletak di dalam, pada, atau di luar lingkaran !

c.       Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik T !

d.       Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L : x² + y² –2y – 3 = 0 jika diketahui :

a.       Gradiennya 2

b.       Garis singgungnya sejajar dengan garis 2y = 4x - 1


Untuk lebih memperjelas Anda bisa mengunduh materinya di link
https://docs.google.com/document/d/1JfbwRgVrattqpZwShspdwLi9hqJ4pY8BS-ZNw5BD-sw/edit?usp=sharing

Selamat Datang

Selamat datang di blog baru saya, semoga bisa bermanfaat. Aamiin